Probleme de numărare
1) Scriem pe un rând toate numerele de la 0 la 2007. Începând cu 0, tăiem
toţi multiplii de 2, apoi toţi multiplii de 3, apoi toţi multiplii de 5. Câte
numere rămân netăiate?
2) Fie A o mulţime cu n elemente.
a) Găsiţi numărul submulţimilor lui A
care au exact 3 elemente.
b) Arătaţi că numărul submulţimilor lui A cu 3 elemente este egal cu numărul submulţimilor lui A cu n—3
elemente.
c) Generalizare.
3) Un nufăr creşte pe suprafaţa unui lac, dublându-şi în fiecare zi aria.
După 20 de zile, nufărul a acoperit tot lacul. După câte zile nufărul acoperea
un sfert de lac?
4) La un turneu de şah, fiecare participant a jucat cu fiecare altul câte
o singură partidă. La sfârşit, organizatorul a jucat şi el câte o partidă cu
câţiva dintre participanţi, astfel încât în final s-au jucat în total 100 de
partide. Care a fost numărul participanţilor?
5) Un dreptunghi cu n linii şi m coloane este împărţit în pătrăţele
1×1. Pe prima linie colorăm primul pătrăţel, pe a doua linie colorăm primele
două pătrăţele, pe a treia linie primele patru pătrăţele, pe a patra linie
primele opt pătrăţele ş.a.m.d., până când pe a n-a linie se vor colora toate pătrăţelele. Ştiind că numărul total
de pătrăţele colorate este 1023, aflaţi câte linii şi câte coloane are
dreptunghiul.
6) Un tâlhar împarte prada cu tovarăşul său de răutăţi. Dintr-un săculeţ
plin cu monede de 10 bani, el scoate pe rând câte o monedă, numărând: „Una la
tine, una la mine; a doua la tine, una, două la mine; a treia la tine, una,
două, trei la mine; ......” şi la fiecare număr rostit, aşează câte o monedă în
faţa sa sau a tovarăşului său. Dacă în săculeţ sunt 6000 de monede, aflaţi ce
sumă (în lei) revine fiecărui tâlhar.
7) Un corp de armată al Chinei Imperiale are în jur de 12000 de soldaţi.
Vrând să afle numărul lor exact, generalul le ordonă să se încoloneze câte 8,
apoi câte 9, câte 10 şi câte 11. În primele 3 situaţii rămâne câte un soldat
singur, iar în a patra rămâne o coloană de 9. Care era numărul exact de
soldaţi?
8) Un păianjen îşi întinde firele în interiorul unui cub de sticlă.
Fiecare fir porneşte şi se termină dintr-un / într-un vârf, din / în pe mijlocul
unei laturi sau din / în centrul unei feţe. Punctul de început şi cel de
sfârşit al unui fir nu se află niciodată pe aceeaşi faţă a cubului. Câte fire
poate întinde păianjenul în acest mod?
9) Pe o insulă trăiesc numai arici, şerpi şi vulpi. Fiecare animal mănâncă
o dată pe zi: orice arici mănâncă la micul dejun un şarpe, orice vulpe mănâncă
la prânz câte un arici şi orice şarpe mănâncă la cină câte o vulpe. La
sfârşitul zilei de joi a mai rămas pe insulă un singur animal. Câte animale
fuseseră pe insulă luni, înainte de micul dejun?
